Litt om MAT243 Mangfoldigheter

Klein's flaske Foreleser: Bjørn Ian Dundas
epost: dundas@math.uib.no. All mail angående kurset må ha "MAT243" i subject heading




En liten uformell intro:

Mangfoldigheter er "rom" der vi har løsrevet oss fra tvangstrøyen at "jorden er flat". Dette er lettest å forestille seg i lave dimensjoner, men også det fire-dimensjonale rommet vi lever i krummer. (Se de gamle (det finnes nyere!) forelesningsnotatene "Rom"forskning - det finnes kulere rom enn verdensrommet for en usammenhengende lek med dette). Poenget er bare at det ikke er så lett å se det lokalt.

For å holde oss til dimensjoner vi kan illustrere i det rommet vi lever i, torussphereplankan vi se på to-dimensjonale mangfoldigheter, eller "flater". Da har vi selvfølgelig planet, men også andre kandidater som sfæren og torusen, og noen til som vi skal se på snart. For et to-dimensjonalt vesen er dette rom man kan bo i, og har det litt begrenset interesseområde, er det ingen grunn til at vårt to-dimensjonale vesen noensinne skal oppdage at det ikke lever i (det flate) planet.

I to dimensjoner er det faktisk meget begrenset hvor mange "verdener" det finnes: se f.eks. Kap. 2 for en oversikt. En tur paa Mobius' baand

Noen rom er "orienterbare" (f.eks. flatt rom, sfæren og torusen, hvor det to-dimensjonale dyret kan definere "høyre" og "venstre"), og andre er "ikke-orienterbare" (f.eks. Kleins flaske som det er en tegning av øverst på siden, hvor dyret vårt kan risikere å komme speilvendt tilbake til utgangspunktet). For å få en følelse hvordan det er å bo på en torus eller en Kleins flaske vil jeg anbefale å spille the torus game.

En flate med to huller som kan embeddes i tre dimensjoner Kleins flaske kan ikke tegnes i rommet uten at vi få selvskjæringer. Det er bare fordi rommet vårt er så lite: i fire dimensjoner kommer Kleins flaske til sin rett. Et spørsmål som vil bli besvart i kurset er hvor store flate rom må til for å kunne huse en gitt mangfoldighet. Men det er viktig at vi ikke blander kortene: de store flate rommene har ingenting med mangfoldigheten å gjøre: for vårt to-dimensjonale dyr er flere dimensjoner enn to kun tankespinn som ikke har noe med virkeligheten å gjøre (de forekommer kun i matematikk og teoretisk fysikk). Det er forøvrig en søt gammel bok som heter Flatlands som handler om slike dyr, som kan være morsom å lese.

To og to henger ringene ikke sammen, men rommet er trangt!

I "MAT243 mangfoldigheter" skal vi studere slike fenomener generelt. Selv om de to-dimensjonale tilfellene er de som absolutt er enklest å se for seg, kommer mangfoldigheter i alle dimensjoner. Faktisk er det slik at mange problemer løser seg opp nå bare dimensjonen blir høy nok! For mange matematiske og fysiske problemer er tre og firedimensjonale rom rett og slett for trange. Her vrenges en sfære, går det an?

Fra en praktisk synsvinkel påtvinges mangfoldigheter oss gjennom nært sagt alle fysiske fenomener, fra de mest hverdagslige til det kosmiske. F.eks. er løsningsrom ofte mangfoldigheter. Ofte er det slik at alt relevant foregår på en mangfoldighet, mens det flate rommet bare er en distraksjon. Jeg kan nevne at paa instituttet har vi en numerikkgruppe som er aktiv mhp. løsninger av differensialligninger hvor man samtidig husker paa at man ikke skal bevege seg vekk fra mangfoldigheten (klassiske metoder ignorerer ofte dette - og dermed fysikken i det hele: dersom du er interessert i hvordan planetene beveger seg, er det komplett uinteressant med tilnærminger hvor planetene beveger seg ut av universet).

Kurset MAT243 er første steget på et studium i topologi, men vil fungere som et støttefag for mange andre studier. Det naturlige påfølgningskurset er "MAT244 algebraisk topologi". UiB har for tiden en aktiv gruppe inne topologi, med tilhørende seminar- og veiledningsvirksomhet, se topologi-gruppens hjemmeside for mer informasjon.

Forkunnskaper: Et mangfoldighetskurs vil de fleste steder følge et obligatorisk kurs i punktmengde topologi. I Bergen fylles denne funksjonen av MAT242, men siden dette kurset ikke er obligatorisk, er vi nødt til å berøre det mest grunnleggende på begynnelsen av kurset, selv om det aldri vil være vårt hovedanliggende. (Du kan kikke på noen online lærebøker om punktmengdetopologi) Bortsett fra det er det ingen særlige forkunnskaper vi bygger på bortsett fra grunnkursene, og en (god?) porsjon matematisk modenhet.

Støttelitteratur

Samfundets støtter:
Riemann

Riemann
 
Poincare

Poincaré
 
Dundas

Dundas
 
Lim inn et bilde av deg når du er ferdig med MAT243

Deg
 




2015-12-27 07:02:35 UTC