The top group

Topology seminar

CRN Topology

Wiki: topology

UiB : MatNat : Matematikk

my face


Mastergradsoppgaver,
Bjørn Ian Dundas

Ta kontakt om det er noe du ønsker at jeg utdyper.

Her ser du listet opp noen mastergradsprosjekter jeg tilbyr. Skulle det være noe morsomt som du tenker på selv, men som du ikke finner på listen, så stikk oppom kontoret mitt (529) eller send meg en mail, så kan vi prate om det.

a twotorusrunning around in unoriented circlesJeg tilhører gruppen for topologi, og tilbyr i hovedsak oppgaver innen dette temaet, men noen oppgaver kunne like gjerne vært kategorisert under algebra. Stort sett blir studentene ved UiB ikke eksponert for topologi før (altfor) sent i studiet. For noen glimt kan du kikke i Wikipedias artikkel og på populærvidenskapelige foredrag jeg har gitt, feks: Romforskning og Sfærespekteret.

Forslagene under er bare skisser til et utgangspunkt for en master: oppgavene må utformes og tilpasses den enkelte student, og videreutvikles til å gi fulle oppgaver. I sin endelige form vil oppgavene omfatte mange begrep som dere ikke har kjennskap til fra før, og beskrivelsene under blir selvsagt noe omtrentlige og forenklede. Atter andre temaer som ikke har allmenne knagger å festes til er rett og slett utelatt, men vil likevel være en mulighet å nærme seg når kunnskapsomfanget øker.

a twotorusFelles krav til forkunnskaper er opptakskravene til masterstudiet i topologi. Det vil være sterkt ønskelig at man tar MAT244/344 i første semester av masterstudiet. Videre studier i topologi vil foregå i form av spesialpensa.

Oppgaveforslag

  • Univalens

    Voevodsky startet nylig opp en helt ferskt fagfelt homotopitypeteorii grenseland mellom topologi og typeteori (i informatikk). Initiativet har vakt stor interesse internasjonalt både fra informatikk og matematikk, men det er fortsatt store uoppdagede områder som trengs å avklares. Idéen er at et hierarki av typer kan forsås helt konkret gjennom et hierarki av deformasjoner ("homotopier").

    En utfordring ved en oppgave av denne typen er at man vil være avhengig av en forståelse både av den matematiske og informatiske siden av saken, uten at noen i Bergen (inkludert undertegnede) helt har spent over dette gapet i denne sammenhengen ennu. Derfor vil et tett samarbeid med informatikk være en forutsetning.

    Anders Husebø har en oppgave i denne retningen.

  • Høyere ordens syklisk homologi.

    I forbindelse med sin ikkekommutative geometri introduserte Connes syklisk homologi. Når input likevel er kommutativt (i en passende generalisert forstand) skjer det mange spennende ting. Blant annet er det en formodning om at man klatrer det kromatiske tårnet: "primtallsfaktoriseringen til sfærespekteret".

    Spørsmålene som blir tatt opp i denne oppgaven vil knyttes mot et prosjekt jeg har med Brun (Bergen), Carlsson (Stanford) og Douglas (Oxford), og som er fulgt opp gjennom en mastergrad (Alexander Lundervoll i 2007) og to doktorgrader ved instituttet (Martin Stolz i 2011 og Torleif Veen i 2013).

    Bl.a. kan det bli aktuelt å studere den rent algebraiske strukturen som fremkommer fra høyere ordens deRham-Witt-komplekset, logaritmiske strukturer osv. Det er også aktuelt å studere ekvivariant homotopiteori.

  • Geometrien til 2-vektorbunter

    En vektorbunt er et rom der hvert punkt erstattes med et helt vektorrom på en pen og kontinuerlig måte. I forbindelse med kvantefeltteorier er vektor bunter og deres geometri viktige, men det viser seg at også finere strukturer er av betydning. I den forbindelse har Baas (NTNU), Richter (Hamburg), Rognes (UiO) og jeg et oppsett for "2-vektor bunter". Der er vektorrom byttet ut med 2-vektorrom. Akkurat som en vektor er et tupel av tall er en 2-vektor et tupel av vektorrom, og matriser av tall byttes ut med matriser av vektorrom. Det overraskende er at dette gir opphav til en teori knyttet til kvantefeltteorier og til "primtallsfaktoriesringen av sfærespekteret".

    En mangel i forbindelse med anvendelsen til kvantefeltteori er at geometrien for 2-vektorbunter ikke er utviklet. Dette er ikke et enkelt spørsmål, for eksempel har man ikke en god formening om hva krumning skal bety, man har ingen indeksteori og man mangler man helt en teori for determinanter for 2-vektorrom, og problemer i denne forbindelse er interessante nok i seg selv. Noen av spørsmålene vil kreve en del differensialgeometri.

  • Symmetriske produkter.

    a torus Utgangspunktet for denne oppgaven vil være et studium av et konkret rom: det "nte symmetriske produktet av tori". Disse rommene er viktige innen algebraisk geometri såvel som algebraisk topologi og hvilke aspekter som vektlegges kan i noen grad velges av studenten. Den sammenhengen vi her skal sette disse rommene i er gruppevirkninger. Om en algebraisk vinkling velges bør MAT321 følges og et samarbeid med gruppen for algebra kan være naturlig.
  • Tensor, trase og komposisjon

    Produktet i en kommutativ ring kan tenkes på på (minst) to måter, noe man ser dersom man går til matriser. På den ene siden har du vanlig matrisemultiplikasjon og på den andre har du tensor av matriser. Disse konstruksjonene er knyttet gjennom trasen. Disse to operasjonene gir opphav til forskjellige konstruksjoner med hver sine fordeler (men som altså faller sammen i det en-dimensjonale tilfellet), og oppgaven vil gå ut på å sammenligne disse, spesielt med tanke på å avklare spørsmål i algebraisk K-teori.
  • Hva har determinanter med Hopf fibrasjonen å gjøre?

    the Hopf fibrationDa Ausoni (Paris 13), Dundas og Rognes (UiO) viste at Dirac monopolen splittet som to virtuelle 2-vektorbunter viste det samtidig at en type "determinant" ikke eksisterte. Determinanter finnes for kommutative ringer, men dette er et svært ømtålig tema. I nesten alle situasjoner er kommutativitet en grov tilnærming. For eksempel er det kartesiske produktet "kommutativt", men bare i en svært presis forstand som ikke er god nok til å støtte en determinant. Den vanlige måten å se dette på bruker dyp homotopiteori, og en oppgave vil være å vise dette helt konkret.

    Torleif Veen skrev i 2009 en masteroppgave med koblinger til denne oppgaven.

  • Subdivisjon, simplekser og symmetrier.

    a subdivision of a surface Oppgaven handler om å utvikle en kombinatorisk velegnet oppdelingsalgoritme fra ren matematikk for bruk innen numerikk eller geometrisk modellering. Spesielt med tanke på problemstillinger med viktige symmetriegenskaper. Det er ingen spesielle forutsetninger for å kunne ta denne oppgaven. Det kan være en fordel om man har noe trening i algebra eller topologi. Et samarbeid med numerikkgruppen kan være naturlig (mer utfyllende, men litt gammel informasjon finner du her)

    Kristoffer Føllesdal har en oppgave som har sterke koblinger mot denne oppgaven.


Last modified: Mon Sep 24 10:49:02 CEST 2012