The top group

Top seminar

Wiki: topology

UiB : MatNat : Matematikk

my face


Mastergradsoppgaver,
Bjørn Ian Dundas

Ta kontakt om det er noe du ønsker at jeg utdyper.

Her ser du listet opp noen mastergradsprosjekter jeg tilbyr. Skulle det være noe morsomt som du tenker på selv, men som du ikke finner på listen, så stikk oppom kontoret mitt (529) eller send meg en mail, så kan vi prate om det.

a twotorusrunning around in unoriented circlesJeg tilhører gruppen for topologi, og tilbyr i hovedsak oppgaver innen dette temaet, men noen oppgaver kunne like gjerne vært kategorisert under algebra. Stort sett blir studentene ved UiB ikke eksponert for topologi før (altfor) sent i studiet. For noen glimt kan du kikke i Wikipedias artikkel og på populærvidenskapelige foredrag jeg har gitt, feks: Romforskning og Sfærespekteret.

Forslagene under er bare skisser til et utgangspunkt for en master: oppgavene må utformes og tilpasses den enkelte student, og videreutvikles til å gi fulle oppgaver. I sin endelige form vil oppgavene omfatte mange begrep som dere ikke har kjennskap til fra før, og beskrivelsene under blir selvsagt noe omtrentlige og forenklede. Atter andre temaer som ikke har allmenne knagger å festes til er rett og slett utelatt, men vil likevel være en mulighet å nærme seg når kunnskapsomfanget øker.

a twotorusFelles krav til forkunnskaper er opptakskravene til masterstudiet i topologi. Det vil være sterkt ønskelig at man tar MAT244/344 i første semester av masterstudiet. Videre studier i topologi vil foregå i form av spesialpensa.

Oppgaveforslag

  • Invariantteori

    Symmetrigrupper spiller en vesentlig rolle i matematikken i alt fra tallteori til topologi og gir opphav til en rekke spennende masteroppgaver. I denne oppgaven er vi interessert å finne de punktene som "står stille" (fikspunkter) under en spesiell gruppevirkning, og beregningene går gjennom noe som heter "spektralsekvenser". Derfor må vi regne ut noen kohomolgigrupper og den nullte homologigruppen er nettopp den klassiske gruppen av "invarianter", og vi vil starte ut med noen konkrete eksempler.

    Oppgaven har flere fasetter; noen topologiske, noen agebro-geometriske og noen tallteoretiske. Spørsmålene som blir tatt opp i denne oppgaven har sitt utspring i et prosjekt jeg har med Carlsson (Stanford) for å belyse den såkalte "Rødskiftformodningen" gjennom stabil ekvivariant homotopiteori og har tilknytning til prosjektet "Høyere ordens syklisk homologi" under.

  • Anvendt algebraisk topologi

    De senere årene har det blitt klart at algebraisk topologi kan anvendes til å analysere store datasett og gir tilgang informasjon som klassiske metoder ikke kan. En av de mest suksessrike metodene er såkalt persistent homologi, hvor man regner ut hvilken global "form" et datasett har. For en kort innføring sjekk opp Wikipedias artikkel og lenkene derfra, spesielt Topology and data of What is persistent homology? For tiden prøver vi ut noen av disse metodene for å studere "atmosfæriske elver" i samarbeid med forskere fra geofysikk og informatikk.

    En oppgave i anvendt topologi kan ha både et praktisk og et teoretisk fokus. Et praktisk oppgave vil måtte inkludere en innføring i anvendelsesomsådet og også i relevant databehandling. Også i en mer teoretisk vinkling vil implementeringer være et mål, men vil kreve avanserte metoder fra analyse og/eller algebra.

    Kristian Alfsvåg har en oppgave i denne retningen.

  • Univalens

    Voevodsky startet nylig opp en helt ferskt fagfelt homotopitypeteorii grenseland mellom topologi og typeteori (i informatikk). Initiativet har vakt stor interesse internasjonalt både fra informatikk og matematikk, men det er fortsatt store uoppdagede områder som trengs å avklares. Idéen er at et hierarki av typer kan forsås helt konkret gjennom et hierarki av deformasjoner ("homotopier").

    En utfordring ved en oppgave av denne typen er at man vil være avhengig av en forståelse både av den matematiske og informatiske siden av saken, uten at noen i Bergen (inkludert undertegnede) helt har spent over dette gapet i denne sammenhengen ennu. Derfor vil et tett samarbeid med informatikk være en forutsetning.

    Anders Husebø har en oppgave i denne retningen.

  • Høyere ordens syklisk homologi.

    I forbindelse med sin ikkekommutative geometri introduserte Connes syklisk homologi. Når input likevel er kommutativt (i en passende generalisert forstand) skjer det mange spennende ting. Blant annet er det en formodning om at man klatrer det kromatiske tårnet: "primtallsfaktoriseringen til sfærespekteret".

    Spørsmålene som blir tatt opp i denne oppgaven vil knyttes mot et prosjekt jeg har med Brun (Bergen), Carlsson (Stanford) og Douglas (Oxford), og som er fulgt opp gjennom en mastergrad (Alexander Lundervoll i 2007) og tre doktorgrader ved instituttet (Martin Stolz i 2011, Torleif Veen i 2013 og Valentin Krasontovitsch).

    Bl.a. kan det bli aktuelt å studere den rent algebraiske strukturen som fremkommer fra høyere ordens deRham-Witt-komplekset, logaritmiske strukturer osv. Det er også aktuelt å studere ekvivariant homotopiteori.

  • Geometrien til 2-vektorbunter

    En vektorbunt er et rom der hvert punkt erstattes med et helt vektorrom på en pen og kontinuerlig måte. I forbindelse med kvantefeltteorier er vektor bunter og deres geometri viktige, men det viser seg at også finere strukturer er av betydning. I den forbindelse har Baas (NTNU), Richter (Hamburg), Rognes (UiO) og jeg et oppsett for "2-vektor bunter". Der er vektorrom byttet ut med 2-vektorrom. Akkurat som en vektor er et tupel av tall er en 2-vektor et tupel av vektorrom, og matriser av tall byttes ut med matriser av vektorrom. Det overraskende er at dette gir opphav til en teori knyttet til kvantefeltteorier og til "primtallsfaktoriesringen av sfærespekteret".

    En mangel i forbindelse med anvendelsen til kvantefeltteori er at geometrien for 2-vektorbunter ikke er utviklet. Dette er ikke et enkelt spørsmål, for eksempel har man ikke en god formening om hva krumning skal bety, man har ingen indeksteori og man mangler man helt en teori for determinanter for 2-vektorrom, og problemer i denne forbindelse er interessante nok i seg selv. Noen av spørsmålene vil kreve en del differensialgeometri.

  • Symmetriske produkter.

    a torus Utgangspunktet for denne oppgaven vil være et studium av et konkret rom: det "nte symmetriske produktet av tori". Disse rommene er viktige innen algebraisk geometri såvel som algebraisk topologi og hvilke aspekter som vektlegges kan i noen grad velges av studenten. Den sammenhengen vi her skal sette disse rommene i er gruppevirkninger. Om en algebraisk vinkling velges bør MAT321 følges og et samarbeid med gruppen for algebra kan være naturlig.
  • Tensor, trase og komposisjon

    Produktet i en kommutativ ring kan tenkes på på (minst) to måter, noe man ser dersom man går til matriser. På den ene siden har du vanlig matrisemultiplikasjon og på den andre har du tensor av matriser. Disse konstruksjonene er knyttet gjennom trasen. Disse to operasjonene gir opphav til forskjellige konstruksjoner med hver sine fordeler (men som altså faller sammen i det en-dimensjonale tilfellet), og oppgaven vil gå ut på å sammenligne disse, spesielt med tanke på å avklare spørsmål i algebraisk K-teori.
  • Hva har determinanter med Hopf fibrasjonen å gjøre?

    the Hopf fibrationDa Ausoni (Paris 13), Dundas og Rognes (UiO) viste at Dirac monopolen splittet som to virtuelle 2-vektorbunter viste det samtidig at en type "determinant" ikke eksisterte. Determinanter finnes for kommutative ringer, men dette er et svært ømtålig tema. I nesten alle situasjoner er kommutativitet en grov tilnærming. For eksempel er det kartesiske produktet "kommutativt", men bare i en svært presis forstand som ikke er god nok til å støtte en determinant. Den vanlige måten å se dette på bruker dyp homotopiteori, og en oppgave vil være å vise dette helt konkret.

    Torleif Veen skrev i 2009 en masteroppgave med koblinger til denne oppgaven.


Last modified: Wed Jul 23 11:18:19 CEST 2014