"Rom"forskning -
det finnes kulere rom enn verdensrommet

BID, oktober 2005

Klein's flaske Rompetrollgalaxe Topologi er studiet av rom. Rom forekommer som i "rommet vi lever i", men begrepet har viktighet langt utover dette. F.eks. vil fysiske, biologiske og økonomiske prosesser studeres gjennom deres "tilstandsrom". Akkurat som at jorden ikke er flat - selv om man lenge trodde dét - krøller disse rommene opp på seg selv, og har en spennende global struktur som har mye å si for hvilke prosesser som er mulige.

I foredraget håper jeg å belyse rom-begrepet gjennom en del konkrete eksempler. Målet er å gi tilhørerne et innblikk i et sentralt emne innen matematikk som ikke ligner noe de lærer i de første årene på universitetet. Og kanskje vi får se at verdensrommet er ganske kult dét også?

Hvis jeg får tid (det får jeg jo sjelden) vil jeg avslutte med å snakke om sfærespekteret. Sfærespekteret er en ny og nødvendig erstatning for de hele tall, men som tar form som et uendeligdimensjonalt rom, og som kan forklares gjennom de utskjelte begrepene i reform-matematikken fra 60 og 70-årene.


jorden er ikke flat

Hvilken fasong har universet?

Vi må løsrive oss fra tvangstrøyen at "jorden er flat".

Dette er lettest å forestille seg i lave dimensjoner, men også det fire-dimensjonale rommet vi lever i krummer. Poenget er bare at det ikke er så lett å se det lokalt.

I lave dimensjoner er "lokalt flat" et hverdagslig fenomen for alle som spiller dataspill. I gamle "Pacman": når du går ut av skjermen på venstre side, dukker du umiddelbart opp på høyre side. Dette ville ikke skjedd hvis skjermen kun var et lite "vindu" inn i planet R2. Faktisk ser du HELE universet til Pacman på skjermen.


Pacman Vrenger skjermen

Pacmans univers

La oss finne ut hvordan den globale strukturen på Pacmans univers er. For å lette fremstillingen spiller vi et annet spill hvor jeg kan lettere forklare: Week's torus game.

Vi ser at Pacmans univers krøller seg opp i seg selv, og i vår 3D verden kan vi realisere Pacmans verden som en torus.

Pacman har fanget et hull En morsom ting for dyr som bor på torusen: tenk at du drar på langferd, og lar en tråd løpe ut efterhvert som du går. Sett at du efter en tid kommer hjem og griper fatt i begge endene av tråden. Ta da og forsøk trekke inn løkken. Det kan være du ikke klarer det: du kan ha fanget et "hull" i universet ditt!


Andre 2D univers

I to dimensjoner er det faktisk meget begrenset hvor mange "verdener" det finnes: se f.eks. her for en liste og noen fine animasjoner av disse rommene. En flate med to huller som kan embeddes i tre dimensjonersphereplan Vi har selvfølgelig planet og torusen, men også andre kandidater som sfæren, og noen til som vi skal se på snart. For et 2D vesen er dette rom man kan bo i, og har det litt begrenset interesseområde, er det ingen grunn til at vårt 2D vesen noensinne skal oppdage at det ikke lever i (det flate) planet.

En tur på Mobius' bånd Noen rom er "orienterbare" (f.eks. planet, sfæren og torusen, hvor det 2D dyret kan definere "høyre og "venstre"), og andre er "ikke-orienterbare" (f.eks. Kleins flaske), hvor dyret vårt kan risikere å komme speilvendt tilbake til utgangspunktet efter en "2D-romferd". For å få en følelse hvordan det er å bo på en Klein flaske kan du spille the torus game med valget "Klein bottle" i stedet for "torus".

To og to henger ringene ikke sammen, men rommet er trangt! En annen ting du kanskje har lagt merke til er at f.eks. Kleins flaske ikke kan tegnes i rommet uten at vi får selvskjæringer. Det er bare fordi rommet vårt er så lite: i fire dimensjoner kommer Kleins flaske til sin rett.

Et lignende fenomen er de Borromeiske ringene som du ser til venstre. To og to henger ikke ringene sammen, men de tre ringene kan likevel ikke trekkes fra hverandre. Dette er fordi R3 er for trangt.

Men det er viktig at vi ikke blander kortene: de store flate rommene (som R3 og R4) har ingenting med vår 2D-verden å gjøre: for vårt 2D-dyr er flere dimensjoner enn to kun tankespinn som ikke har noe med virkeligheten å gjøre (de forekommer kun i matematikk og teoretisk fysikk).

Det er forøvrig en søt gammel bok som heter Flatlands som handler om slike dyr, som kan være morsom å lese.


Vårt univers

Utsikten i en 3-torus Rommet vi bor i er 3D (4D hvis du regner med tiden). De fleste antar at vi bor i R3, og det ser slik ut om vi er litt nærsynt. Einsteins generelle relativitetsteori forteller oss imidlertid at tid-rommet ikke er flatt.

Observasjoner fra WMAP kan tyde på at rommet på stor skala er flatt (usikkerhet på ca 2%), hvilket passer R3 fint, men også 3-torusen (3-torusen får du ved å ta en terning, og - akkurat som vi gjorde for 2-torusen - identifiserer motstående sider).

Dodekaederet Anomaliteter i bagrunnsstrålingen har dog gjort at man har lurt på om rommet er en Poincaré sfære (som er det kuleste 3D-rom jeg vet om!! Det bygges av et dodekaedron ved å identifisere motstående sider.)


Andre rom

to elektroner

Eksempel på et Tilstandsrom

Anta at du skal beskrive to elektroner. Nærmere bestemt, du vil modellere alle tilstandene du kan ha (og hvordan tilstandene henger sammen).

to elektroner Dette kan beskrives ved å oppgi vektoren fra massesenteret til en av elektronene. Ved Pauli ekslusjonsprinsipp er denne vektoren aldri null, men siden elektroner er like kan vi ikke bestemme hvilken vei vektoren peker. Velger vi å se vekk fra lengden til vektoren beskrives tilstanden altså entydig ved en linje gjennom massesenteret i R3.

Rommet av slike linjer kalles det projektive planet.

mobius Det projektive planet kan også laves ved å ta et Möbiusbånd, (som har rand som en sirkel) og sy fast en rund lapp. Dette rommet er ikke orienterbart.

Det projektive planet har et interessant "hull". Det rare er at hullet "forsvinner" om du går to ganger rundt det, noe det berømte vannglass-trikset er en illustrasjon på. (slike hull finner du også i verdensrommet, dersom det skulle vise seg å være en Poincaré sfære. Hvis jeg får tid skal jeg forklare nøyere hva et "hull" er, og hva det vil si at et hull "forsvinner").

to elektroner to elektronerto elektronerto elektroner

Andre tilstandsrom kan være av formen "alle posisjonene til en robotarm", "løsningrommet til en modell for forskjellige fiskearter i Barentshavet", osv. osv.

Dimensjonen til tilstandsrommene ("grader av frihet") er ofte svært stor hvis det er et komplisert system, gjerne uendelig.


Kjernen i en fusjonsreaktor

Egenskaper ved rom

Hvis du skal lave en fusjonsreaktor må du holde plasmaet på plass med et magnetfelt. På overflaten av plasmaet må vektorfeltet gå parallelt med overflaten: ellers lekker plasmaet ut og gjør ugang. Hvilke flater er det i rommet som tillater ikkeforsvinnende vektorfelt?

Svaret er overraskende: torusen er den eneste. Så fusjonsreaktorer har alltid plasmaet i en ring rundt magneten. For å vise dette må man oversette problemet til et algebraisk problem som man kan regne ut. I dette tilfellet er problemet knyttet opp mot det såkalte Eulertallet.


Topologi

Topologi er studiet av rom.

I nyere tid har koblingen til algebra blitt tettere og tettere. Problemer med rom kan med fordel oversettes til algebraiske problemer som vi kan regne ut, og vanskelige algebraiske spørsmål kan oversettes til rom hvor vi har mer plass til å strekke og dra litt i dem, og dessuten har geometrisk intuisjon som forteller oss hvordan vi skal angripe problemet.

Faktisk er det nu slik at "algebra kan plasseres inni en del av topologi". I denne delen ligger algebra faktisk like tett som de rasjonale tallene ligger i de reelle tallene. Men de hele tall må byttes ut med et enda mer fundamentalt tallsystem: sfære-spekteret.

Norge har seilt opp med en sterk kompetanse i topologi, og nytt av i år er at topologi er et av satsningsområdene her i Bergen (med egen studieretning under masterplanen i matematikk).

Fra en praktisk synsvinkel påtvinges rom oss gjennom nært sagt alle fysiske fenomener, fra de mest hverdagslige til det kosmiske. Ofte er det slik at alt relevant foregår på et krumt rom, mens det flate rommet bare er en distraksjon.

Det er også en kobling mellom informatikk og topologi, og selvsagt også mot andre fag hvor modellering er viktig, som f.eks. økonomi.

Fra en matematisk synsvinkel er topologi en sentral, men teoritung aktør. Det er svært langt frem til forskningsfronten for studenter, både fordi dere ikke lærer noe om dette i begynnelsen av studiet, men også fordi det rett og slett er krevende stoff.



Bjørn Ian Dundas
2005-10-18 09:10:10 UTC