Sfærespekteret

BID, oktober 2005

De "naturlige" tallene N:

0, 1, 2, 3, 4, ...

Fine til å telle ting med (f.eks. sauer), og derfor med mennesket fra urtiden.

Noen vil innvende at det er historieløst å inkludere 0: det tok svært lang tid for selv de mest avanserte sivilisasjoner å inkludere et symbol for 0. På den annen side er begrepet "ingen sauer" nok et sørgelig ordinært begrep for urmennesket, og siden det er synonymt med "null sauer" inkluderer jeg 0 med blant de gudegitte talene.

På ett eller annet tidspunkt i menneskenes utvikling ble det nødvendig å holde regnskap, ikke bare med de sauene man virkelig hadde, men også de sauene man skyldte fyrsten. Til dette er negative tall veldig greie. "Jeg har -5 sauer" kan være en fin oppsummering av "jeg har 12 sauer i fjøset, men skylder 17 sauer".

Vi kaller tallene

... -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...
"de hele tall", Z.


SauI reformmatematikken (på 60- og 70-tallet) lærte vi at vi skulle snakke om mengder, f.eks. om mengden av Ulla, Henriette og Vignette (tre tilfeldige sauer jeg kom til å tenke på). Bonden er glad i sine sauer, og tenker ikke på dem som "3 sauer", men nettopp som "Ulla, Henriette og Vignette".

Men hva skjer da med dette fine systemet (de hele tall) som vi har bygget opp for å kunne handle med sauer? Er det slik at myke verdier er uforenelig med markedet?

Vel vi kan regne med endelige mengder:

unionen
av to mengder virker som sum:

unionen av mengdene

{Ulla, Henriette, Vignette} og {Steinfrid, Makronelle}
er mengden av
{Ulla, Henriette, Vignette, Steinfrid, Makronelle}
akkurat som
3+2 = 5.

Gange sammen kan vi også: det heter

"kartesisk produkt".
Ganger vi sammen mengden av
{Ulla, Henriette, Vignette} med {Steinfrid, Makronelle}
får vi alle parene som kan dannes med én sau fra hver mengde:

(Ulla, Steinfrid)
(Henriette, Steinfrid)
(Vignette, Steinfrid)
(Ulla, Makronelle)
(Henriette, Makronelle)
(Vignette, Makronelle)
Akkurat som 3 ganger 2 er 6.


Men hva med de negative tallene?

Mad sheep Ull i faar Kan vi snakke om minus mengden {Ulla, Henriette, Vignette}?

m.a.o. finnes det en "mengde" X slik at unionen av X med {Ulla, Henriette, Vignette} blir den tomme mengden (ikke lur deg selv til å tro at X="ulven", for unionen av ulven og UHV er ikke den tomme mengden, men en (langt i fra tom) ulv).


For å få dette til må vi tenke på tallsystemer som rom.

De naturlige tall tenker jeg på som (det utrolig kjedelige) rommet som består av ett punkt for hvert naturlig tall. Ikke meget mer spennende blir det for de hele tall.

Hva så med mengdene? Her er det viktig å merke seg at vi har funksjoner mellom mengdene. Vi kan avbilde

{Ulla, Henriette}
{Steinfrid, Makronelle}
f.eks. gjennom funksjonen f der
f (Ulla) = Steinfrid  og   f (Henriette) = Makronelle.
Vi ser at den siste funskjonen illustrerer et bytte, og er en legitim prosess når vi skal handle med sauer. Mengdene
{Ulla, Henriette} og {Steinfrid, Makronelle}
er ikke like, men de er i 1-1 korrespondanse med hverandre; vi sier at de er isomorfe (like mye verd?) og at f er en isomorfi.

Da er vi på lang vei til målet. For å holde greie på alle mengdene tegner jeg ett punkt for hver mengde, og for hver isomorfi trekker jeg en kurve mellom punktene. Isomorfien som representerer likhet lar jeg ha lengde null.

Nå er det slik at noen isomorfier kommer flere ganger på denne måten, og det må jeg holde greie på: F.eks. vil de to måtene å løpe gjennom trekanten til venstre under representere samme funksjon fra {Ulla, Henriette} til {Herborg, Burugla}.

to veier som er like

Disse to måtene er like, og vi manifesterer det ved å klistre inn en trekant (slik at det ikke blir noe hull: vi kan "gli" fra den ene måten til den andre.) Om vi har mer kompliserte måter å skrive samme funksjoner på fyller vi likeledes igjen disse "fiktive" hullene.

tre veier som er like Så, samlingen av alle endelige mengder, kan sees på som et rom Fin bygget på denne måten. Dette rommet kommer i mange klumper.

For eksempel, klumpen som inneholder den tomme mengden, består av kun dette ene punktet: den tomme mengden.

Klumpen som inneholder {Ulla} har alle ettpunktsmengder - som f.eks. {Henriette}, {Marionette} og {Herborg}. Disse er alle likeverdige (isomorfe) på en entydig måte, så denne "klumpen av alle ettpunktsmengder" kan trekkes sammen til et punkt og er et kjedelig rom (bildet til høyre viser den delen som inneholder fire punkter, det er et tetraeder).

En klump inneholder {Ulla, Henriette} (og dermed alle mengder med to elementer), en klump inneholder {Ulla, Henriette, Steinfrid} osv.


Kort sagt Fin kommer i en samling klumper - én klump for hvert naturlig tall, svarende til antall elementer i mengdene.

to veier som er like Hver av klumpene er spennende rom (dvs. ikke alle rommene er så spennende: de tilhørende 0 og 1 er som vi så gørrkjedelige, men fra 2 og oppover blir de tiltagende fascinerende). Om vi f.eks. ser på klumpen hvor {Ulla, Henriette} bor har vi en vei

f:{Ulla,Henriette} -> {Ulla,Henriette}
gitt ved å forveksle Ulla og Henriette. Denne veien er jo en løkke, og det viser seg at den ikke kan "trekkes sammen" uten å slippe endepunktene. På den annen side har vi at om vi tar f to ganger har vi ikke gjort noen ting, så vi må spenne ut et "trekant" mellom det å gå rundt med f to ganger og det å bli hjemme.

På tegningen til høyre har jeg for illustrasjons skyld tegnet mengden {Ulla,Henriette} tre ganger, og tegnet f to ganger, mens jeg har strukket linjen mellom {Ulla,Henriette} som representerer likhets-isomorfien (denne skulle hatt lengde null).

to veier som er like Grunnen til at jeg tillatt meg å duplisere punkter og linjer i tegningen er at jeg ikke kan representere dette fenomenet med en figur i rommet, så jeg må ta slike visuelle hjelpemidler til hjelp.

Hvis dere tvinger meg til å ikke jukse ser det slik ut:

Så om vi går to ganger rundt med f kan vi trekke sammen løkken uten å slippe endepunktene.

mobius Litt lettere blir det om jeg forklarer det som følger: For å få plass til begge f'ene i f 2 i samme tegning, fet opp kurven som representerer f til et Möbiusbånd. Går vi rundt randen på Möbiusbåndet går vi to ganger rundt sentralsirkelen. Så vi kan tenke oss at f er sentralsirkelen, og f 2 er randen. Til randen skal vi altså lime inn en disk. Dette lar seg ikke gjøre i tre dimensjoner, men det er intet i veien for det rent prinsipielt, og i fire dimensjoner går det helt greit. Figuren som fremkommer heter det projektive planet. Mer om slike figurer kan du lære om i forelesningen "Rom"forskning - det finnes kulere rom enn verdensrommet.


Så Fin er et stort og spennende rom som reflekterer alt du kan gjore med endelige mengder (og det er mye), men hva med negative mengder?

Le Voila Det viser seg at det finnes en prosedyre for å utvide Fin til å ha "negative" mengder. La oss kalle resultatet S (for sfære spekteret - for det er det det er. Grunnen til dette navnet har jeg ikke anledning til å komme inn på her).

Vi får en inklusjon av Fin inn i S (akkurat som vi kan inkludere N inn i Z).

S kommer i masse klumper - en klump for hvert hele tall (noe som reflekterer hvor mange "elementer" det er i mengdene i hver klump). Det underlige er at alle klumpene er nu like rom, og hver av dem inneholder all informasjonen som var i Fin (f.eks. finner vi det hullet som vi studerte ovenfor i klumpen til {Ulla, Henriette} i alle klumpene i S).


Det viser seg at regneoperasjonene som vi definerte på Fin (union og kartesisk produkt, svarene til sum og produkt), fungerer like bra i S, og vi har et nytt tallsystem som sitter bak de hele tall: det å kollapsere hver klump i S til ett punkt gir en tilordning mon cher Einstein
S-> Z
Denne tilordningen er jo sørgelig glemsom, den glemmer alt om mengdene bortsett fra hvor mange elementer der er i dem.

Matematikken over Z er rik, spennende og har en mange hundreårig historie. Matematikken over S er rikere, mer spennende og historien har akkurat begynt!


Bjørn Ian Dundas
2005-10-14 10:40:56 UTC