Uegentlige integraler


Uegentlige integraler av type I

  1. La f være kontinuerlig på [a,∞). Det uegentlige intergal av f over [a,∞) er
        


    a
     f (xdx = 
     
    lim
    R→∞
     
    R


    a
     f (xdx.
  2. La f være kontinuerlig på (−∞,b]. Det uegentlige intergal av f over (−∞,b] er
        
    b


    −∞
     f (xdx = 
     
    lim
    R→−∞
     
    b


    R
     f (xdx.

Hvis den definerende grense eksisterer sier vi at det uegentlige integralet konvergerer. Hvis grensen ikke eksisterer sier vi at uegentlige integralet divergerer. Hvis grensen er ± ∞ sier vi at det uegentlige integralet divergerer mot ± ∞.


Uegentlige integraler av type II

  1. La f være kontinuerlig på (a,b]. Det uegentlige intergal av f over (a,b] er
        
    b


    a
     f (xdx = 
     
    lim
    ca+
     
    b


    c
     f (xdx.
  2. La f være kontinuerlig på [a,b). Det uegentlige intergal av f over [a,b) er
        
    b


    a
     f (xdx = 
     
    lim
    cb
     
    c


    a
     f (xdx.

Også her snakker vi om konvergens og divergens.


Eksempel

Det uegentlige integralet

  
1


0
 
1
x2
 dx = ∞  

divigerer mot ∞.


Eksempel

Det uegentlige integralet

  
1


0
 
1
x
 dx = 2  

konvergerer.


Eksempel

Det uegentlige integralet

  


−∞
 sinx dx  

divergerer.


Teorem (p-integraler)

La a være et positivt tall. Da gjelder

    


a
xp = 
a1−p
p−1
      hvis p > 1
    


a
xp = ∞      hvis p ≤ 1
    
a


0
 xp = 
a1−p
1−p
      hvis p < 1
    
a


0
 xp = ∞      hvis p ≥ 1

Teorem

La f og g være kontinuerlige funksjoner på intervallet [a,b) som for alle x i [a,b) oppfyller

  0 ≤ f (x) ≤ g (x).

Hvis det uegentlige integral

  
b


a
 g(xdx 

konvergerer, da konvergerer også integralet

  
b


a
 f(xdx 

Teorem

La f og g være kontinuerlige funksjoner på intervallet [a,b) som for alle x i [a,b) oppfyller

  0 ≤ f (x) ≤ g (x).

Hvis det uegentlige integral

  
b


a
 f(xdx 

divergerer, da divigerer også integralet

  
b


a
 f(xdx 

Dessuten divigerer begge integralene mot ∞.
















This document was translated from LATEX by HEVEA.